大学受験予備校 "Veritas" のページ

（1）              プロセス　さまざまな問題でつめに実行してください。

(ア)    問題＝条件から

①       問題文を読む

②       条件を洗い出す（全部洗い出す）

③       洗い出した条件を、数式・図形・グラフのいずれかにする。

④       それらを論理的に可能な範囲で変形する。

⑤       留意点・必要なスキル

1.         数式（等式・不等式の同値変形がキチンとできること）　可能な変形のバリエーションはすべて試してみればいいのです。見え方が変わります。

2.         条件からできるだけ正確な図形・グラフが描けること。グラフや図形も角度を変える、見方を変えて複数描いてみること。

3.         決定条件を考える。何が何をどう決定しているのか？あるいは決定していないのか。図形の問題などでは、図形が一意に決定しているのかしていないのかの判断は決定的に重要です。

4.         抽象的なものを具体的な姿で掴む。具体的なものを一般化してみる。

(ア)    特に場合の数や確率、数列などは格好の練習素材です。

(イ)    場合の数では、何度も何度も数え上げてみる。その際、一般的な論理＝数式化＝立式することを視野に入れて数える。キチンと数え上げることができれば立式できます。

(ウ)    数列など、例えば漸化式などで与えられている場合、具体的な姿を掴むこと。そこに立ち戻って考えること。具体的なものの中に論理がある。

(エ)    逆に具体的に与えられているものは、その中に論理を掴むこと。

5.         それらの姿を変えながらゴールが要求しているものを考える。数学的センスというものはこの段階で発揮されるべきもの。ここまでは、悪く言えばただの作業でもある。一定の正確な知識があれば誰にでも必ずできるもの。

(イ)    ゴール＝帰結から

①       何が要求されているのか？

②       求値問題であれば、多くの場合、方程式になる。どのような方程式になるのか。

③       要求されているものを導き出すために、その一歩手前で必要なことが何かを明確にする。例えばx の値を求めるために、何がそのｘを決定しているのか、何が求められたら良いのか＝どのような方程式が、いくつできればよいのか、ということを明確にする。

(ウ)    自分の使える武器から考える

①       平面座標で角度を求めよ、といわれたら使えるものは限られている。

1.         三角比、cos sin tan のいずれか。余弦定理ないしはベクトルの内積、正弦定理、直線の傾き。

2.         図形的にアプローチする。三角形なら他の角度（内角の和から？）、3角形の特徴（辺の比が１：２：√３とわかるなど）。

②       どのような定理があり、公式があり、使えそうなもの、関連しそうなものは何か。それらと、問題文からの条件、ゴールからの要求を並べてみていると、その間に一本の線が見えてくる。

1.         この線が見えてくるところは演習量であり、センスでもあります。センスは演習量に裏打ちされる。

2.         しかしセンスも、それを発揮する対象が定まっていなければ生まれない。直感は直感の素材がなければ発揮できない。それが働ける場をつくるところまではギリギリと論理的・必然的なプロセスとして煮つめていく。逆に言えば、誰にでもできるプロセス。

(エ)    　結局問題を解くと言うことは、

①       上記の　(ア)×(イ)×(ウ)　のプロセスなのです。これを徹底的にやってみることです。

②       解けないときは条件を落としている。あるいはその使い方が悪い。立式はしたがそこからの変形を何もしていない…ということが大半です。

③       条件を立式することができていないこともある。これは単純に演習不足です。基本的な知識とその運用が足りない。基本を徹底的にさらってください。

④       しかし(ア)×(イ)×(ウ)だけではまだ解けません。ここまで下準備をして、それを睨んでその間につながるはずの道筋を見つけること。この発見のプロセスはセンスです。しかしこの段階では、問題＝条件とゴール＝帰結との間はとても短くなっています。ここまできても見えない問題であればそれは多分解けない。諦めて良い。でも、それらの間に、まだはっきり見えないけど、何か道がありそうな気がしてきたら粘ってください。問題文を読み直す。洗い出した条件を見直す。もう少し変形の仕方はないか、条件の立式の仕方は他にないか、考えてください。上手く言えないけれども、私の場合、格闘していた難しい問題が解けるまえには、何かモヤモヤとした形をもたないイメージのようなものが頭の中に浮かんできます。それが浮かんできたらたいてい解けます。しばらくそのイメージを掴もうとしていると、はっ！と気がつく。そして解ける。そんな感じです。

⑤       私は才能があるわけでもありません。ものすごく勉強をたくさんしていろんなことを知っているわけでもないような気がします。普通の人間が普通に解く感じです。だから結構、泥臭い解き方をします。たまには模範解答より優れたものをつくっているつもりですが。でもたいていは泥臭い。でも生徒よりは解けます。経験もある。その私が、上記のようなことを泥臭くやっているのです。君たちがスマートに解くのはちょっと早いよ。解けた方が良いけど、そうはいかない。もっともっともっともっと問題そのものと格闘してください。その格闘すると言うことは、(ア)×(イ)×(ウ)を粘り強くやってみることなのです。そうやって解けたとき、はじめて数学は面白いと思えるから。