大学受験予備校 "Veritas" のページ

数学の学習について思うところを連続的に書いてみたい。少々激しい言い方をすれば、このところ「学習のあり方がどこかで壊れている」というべき状態を数多く見るからだ。
　一般的に「勉強すればそれなりに学力はつく」と思われている。けれども「学習のあり方が壊れている」状態になるとそうはいかない。裏返せば、「学習しても学力が上がらない」という状態になっている場合が少なくない。
　そうした状況と激しくたたかうようにして指導しているけれども、必ずしも勝ち切れない。大きな壁に突き当たっている感覚が強くある。それをいったん整理する必要があると思う。それはもう一度、私自身が直面していることがらの本質を可能なかぎりトータルに掴み出さないと指導が成立しないと思っているからだ。壁の正体をクリアにしないと、日々の指導で突き破れないと思っているからだ。
　そして生徒自身にとっても、自分が直面している壁の正体がつかめないからだ。

　生徒個々人の学習はそうとう大きな振れ幅があり、一様ではない。その振れ幅は、たぶん、各生徒が思っている以上にはるかに大きい。そして、上手く行っている場合もあればいかない場合もある。そうした中でどこかで「◯◯◯というやり方をすればいいと聞いた」とか「△△△の参考書がいいらしい」とかそういう話が舞い込んでくる。それでうまくいくことも当然あるけれども、そうはいかないことも少なくない。
　たとえばスポーツで、仮に水泳で一定のタイムを出そうとしたとき、「あの人は筋トレをしたら爆発的にタイムが伸びた」ときいてもそれが自分に適合する方法なのかどうかはわからない。一つには同じ問題点にｔ直面しているのかどうかわからないからだ。筋力はあるけれども、フォームがでたらめなのかもしれない。瞬発力ではなく、持久力が足りないのかもしれない。その問題点を解決する方法を考えなければいけない。さらに、その人は、筋トレ以外にもトレーニングをしていただろうから、そうした全体の中で筋トレが一つの成果につながったということのはずだ。けれどもこういう話はどうしても「筋トレをしたら上手く行った」みたいな部分だけがクローズアップされて伝わりがちになる。それも上手くはいかないだろう。いずれにしても誰かが上手く行った方法をそのまま導入してもたいていうまく行かないことは多い。
　だから、考えるべきことは「その人の課題がどこにあるのか。その解決のためには何が必要なのかｊということになる。そのため私は正反対のことを言うこともある。ある生徒には「手を動かせ」ということがある。他の生徒には「すぐに手を動かすな」ということもある。「問題をじっくり読め」ということもあれば「問題をじっと読んでばかりいてもダメだ」ということもある。
　それは数学というものの力をつけるということがどういうことか、そのための「この生徒」の課題はどこにあるのか、ということを踏まえての指導になるけれども、うまくいかないことも多い。
　指導力の未熟さ、といえば身も蓋もないけれども、確かにその一言に集約されることではあるけれども、その内容の一部は、「課題はなにか」という点についてなかなか一致しないということにある。たとえば先のスポーツの例で言えば「筋力が低いという課題が大きい」と思っていない選手に「筋トレをやれ」と言ったところで、多分、その指導はうまくいかない。本人が納得していない指導はたいてい、大した結果を生みださない。

　生徒と講師が「課題と対策」の基本的な内容で一致していなければいけないけれども、ここが簡単に行かないケースが目立ってきている。
　そしてその一つの原因は、【数学のちから】というものについての認識の隔たりにある。これだけではないけれども、このことはかなり大きな問題だと思う。別の言い方をすれば、数学が要求していることが、はっきりとは掴まれておらず、したがって自分の課題がどこにあるのかを知ることができない状態にある場合が多いということだ。スポーツでも日々の練習や試合から自分自身の課題を深くつかみとり、その自覚を持って練習をするかしないかで大きくその後が変わってくることは自明だと思うけれども、それは学習においても同じことだ。

　だから、以下の様なことを是非お願いしたい。
1）　数学の力というものがどういうものなのか、あらためて考えてほしい。
　いわばこの点についての理論的考察とでも言うべきものがもっとあってしかるべきだと思う。これがなければ自分の課題は対象として把握することは基本的にできないのです。
2）　上手くいったときの感覚を忘れないでほしい。それを宝庫だ。そこにさまざまなカギが隠されている。それを可能なかぎり深く分析し、捉えてほしい。そしてその感覚を追い求めてほしい。そこには点数に還元できない大きなものがある。
3）　最後に、もっともっと失敗から多くを学び取ってほしい。
　とても多くの生徒が失敗から目を背けようとする。ちょっとしたミスで片付けようとする。そうではないのです。

　試験でも日日の演習でも問題を解くことは多い。
　学力一般にも言えるけれども、テストの点数は必ずしもその教科の力を、特に現在の力を反映しているわけではない。その力は、個々の生徒の内部に存在しているもので、外部から物差しで測ることができるのかと聞かれると大きな疑問が残る。2004年に東北大学でセンター試験の点数と2次試験の点数の関係の追跡調査を行った。
　結論は、ほとんど無関係。
　英語などの外国語はセンター試験と2次試験の結果について一定の相関関係があるとのことだったが、数学については相関関係は極めてうすいとのこと。
　別の言い方をすれば、センター試験で「測定される数学力」と2次試験でのそれが異なっているということになる。
　少なくともはっきりしていることは、一つの問題、一つのテストでその人の数学力が全面的にあらわれてくるわけではないということだ。けれども何も現れてこないというわけでもない。
　だから演習で問題を解くということは、少なくとも二つの側面がある。一つは、それを通して、数学的な何かを理解し、運用する力をつけること、もうひとつは、その演習を通して自分自身がさらけ出されるということ。自分自身の内部にある掴み難い数学力の一端が、その演習を通して外部にあらわれてくる。だからそこをつかみとってほしい。外部に現れてきた君たち自身をよく見つめてほしい。その深さが学習の質を大きく決定するのです。それは「言われたから解き直しはした」とか、「一応、間違った問題は解けるようにした」ということだけに還元されないことだ。それらは全体のごく一部分に過ぎない。そういう切り縮め方をしてはいけない。
　大切に、大切に演習をしてほしい。そして直してほしい。解き方を覚えるというよりは、自分のなかにある知識の不足、誤解、曖昧さ、不足している技術、狭い観点、論理力の弱さ、特に厳密な論理を構築する力、複合的な論理を操作する力の不足、また論理への無頓着、分析力の不足、計算力の不足、あるいは重たい計算を貫徹する力の不足、さらにはすぐに問題を侮るような傲慢さ…さまざまな課題がそこに顔を出している。それがいまの君の姿なのだから、丁寧に、できるだけ丁寧に解きほぐし、解決するためにどうするのか、考え、実行してほしい。

　以下、数学の力について、演習方法について、さまざまなケーススタディを書いていこうと思っています。順番は臨機応変に変えます。ずっと理屈だけ書いているときっと読まないだろうから。とりあえず書けるだけ書きます。

　これは参考書や問題集の紹介ではありません。でもちょっと数学の見え方が変わるかも知れない。そんな本です。

非常に面白いです。
数学に限らず、どんな入試問題も人間が作っています。その人が、いったいどういうことを考え、どういうことを目的にこの問題を受験生に解かそうとしているのか。例えばどういう数学の力を見ようとしているのか。どういう理解を問おうとしているのか。そういうことが少しでも見えてくれば問題の見え方が変わってくるかも知れない。

特に理系の受験生は読む価値があると思います。
ある程度、とばしながらでも良いです。内容的には作問者の問題意識が、ここまであからさまに書いて良いのかと思うくらいはっきり書かれています。そして高校数学のかなりの部分を横断していますから復習になる面も（面もです）あります。とばしながらでも、というのは必ずしも簡単ではないからです。

この本を読んだら数学が出来るようになるわけではありません。そういうことを期待してはいけないと思います。けれども数学の問題と、あるいはその問題を作った人と、いままでより深く＜対話＞できるようになるかもしれません。問題の向こう側に何かを感じるようになるかも知れません。それはきっといままでの受験数学の演習とはちょっと違う感覚の世界です。けれども力のある受験生は大なり小なり感じていることです。
入試問題を見ていると、ため息が出るくらい良くできた問題だなぁとか、これは苦労して作り込んだ問題だなぁと思うことがあります。ビックリするくらい鮮やかな問題があります。本物の数学の理解を要求していると思えて、こういう問題をつくって欲しいな、こういう問題が増えれば高校での数学がもっと深いものになるのだろうなと思うこともあります。逆の場合もあります。いったいなんでこんなつまらない問題を出すのかな、と思うことだってあります。ただただ苦労しろと言うことか、と言いたくなることもあるし、何という意地悪な、と思うこともあります。
そんなことを思って問題を見ていると少し裏側が見えるように思います。むろん「裏側」といのは本当は背景にある数学的な定理や事実なのだろうけれども、それとは少し違います。いわば問題を挟んで作問者と相対しているような、そんな感覚です。そういう問題との関わりがちょっと生まれるかも知れません。そんな本です。

★『出題者心理から見た入試数学　初めて明かされる作問の背景と意図』　芳沢光雄著　講談社・ブルーバックス


＜追記＞
同様のものとして佐藤恒夫氏の『センター試験で必要とされる力〈数学ⅡB+IA〉―元センター試験作問委員がズバリ教える! 』（小学館）があります。センター試験の委員をしていた佐藤氏がその背後で行われている検討の状況も含めて、どのような数学の力を問おうとしているのかをストレートに書いています。これはセンター演習の本としても使えるものです。

（1）              プロセス　さまざまな問題でつめに実行してください。

(ア)    問題＝条件から

①       問題文を読む

②       条件を洗い出す（全部洗い出す）

③       洗い出した条件を、数式・図形・グラフのいずれかにする。

④       それらを論理的に可能な範囲で変形する。

⑤       留意点・必要なスキル

1.         数式（等式・不等式の同値変形がキチンとできること）　可能な変形のバリエーションはすべて試してみればいいのです。見え方が変わります。

2.         条件からできるだけ正確な図形・グラフが描けること。グラフや図形も角度を変える、見方を変えて複数描いてみること。

3.         決定条件を考える。何が何をどう決定しているのか？あるいは決定していないのか。図形の問題などでは、図形が一意に決定しているのかしていないのかの判断は決定的に重要です。

4.         抽象的なものを具体的な姿で掴む。具体的なものを一般化してみる。

(ア)    特に場合の数や確率、数列などは格好の練習素材です。

(イ)    場合の数では、何度も何度も数え上げてみる。その際、一般的な論理＝数式化＝立式することを視野に入れて数える。キチンと数え上げることができれば立式できます。

(ウ)    数列など、例えば漸化式などで与えられている場合、具体的な姿を掴むこと。そこに立ち戻って考えること。具体的なものの中に論理がある。

(エ)    逆に具体的に与えられているものは、その中に論理を掴むこと。

 

5.         それらの姿を変えながらゴールが要求しているものを考える。数学的センスというものはこの段階で発揮されるべきもの。ここまでは、悪く言えばただの作業でもある。一定の正確な知識があれば誰にでも必ずできるもの。

 

(イ)    ゴール＝帰結から

①       何が要求されているのか？

②       求値問題であれば、多くの場合、方程式になる。どのような方程式になるのか。

③       要求されているものを導き出すために、その一歩手前で必要なことが何かを明確にする。例えばx の値を求めるために、何がそのｘを決定しているのか、何が求められたら良いのか＝どのような方程式が、いくつできればよいのか、ということを明確にする。

 

(ウ)    自分の使える武器から考える

①       平面座標で角度を求めよ、といわれたら使えるものは限られている。

1.         三角比、cos sin tan のいずれか。余弦定理ないしはベクトルの内積、正弦定理、直線の傾き。

2.         図形的にアプローチする。三角形なら他の角度（内角の和から？）、3角形の特徴（辺の比が１：２：√３とわかるなど）。

②       どのような定理があり、公式があり、使えそうなもの、関連しそうなものは何か。それらと、問題文からの条件、ゴールからの要求を並べてみていると、その間に一本の線が見えてくる。

1.         この線が見えてくるところは演習量であり、センスでもあります。センスは演習量に裏打ちされる。

2.         しかしセンスも、それを発揮する対象が定まっていなければ生まれない。直感は直感の素材がなければ発揮できない。それが働ける場をつくるところまではギリギリと論理的・必然的なプロセスとして煮つめていく。逆に言えば、誰にでもできるプロセス。

 

(エ)    　結局問題を解くと言うことは、

①       上記の　(ア)×(イ)×(ウ)　のプロセスなのです。これを徹底的にやってみることです。

②       解けないときは条件を落としている。あるいはその使い方が悪い。立式はしたがそこからの変形を何もしていない…ということが大半です。

③       条件を立式することができていないこともある。これは単純に演習不足です。基本的な知識とその運用が足りない。基本を徹底的にさらってください。

④       しかし(ア)×(イ)×(ウ)だけではまだ解けません。ここまで下準備をして、それを睨んでその間につながるはずの道筋を見つけること。この発見のプロセスはセンスです。しかしこの段階では、問題＝条件とゴール＝帰結との間はとても短くなっています。ここまできても見えない問題であればそれは多分解けない。諦めて良い。でも、それらの間に、まだはっきり見えないけど、何か道がありそうな気がしてきたら粘ってください。問題文を読み直す。洗い出した条件を見直す。もう少し変形の仕方はないか、条件の立式の仕方は他にないか、考えてください。上手く言えないけれども、私の場合、格闘していた難しい問題が解けるまえには、何かモヤモヤとした形をもたないイメージのようなものが頭の中に浮かんできます。それが浮かんできたらたいてい解けます。しばらくそのイメージを掴もうとしていると、はっ！と気がつく。そして解ける。そんな感じです。

⑤       私は才能があるわけでもありません。ものすごく勉強をたくさんしていろんなことを知っているわけでもないような気がします。普通の人間が普通に解く感じです。だから結構、泥臭い解き方をします。たまには模範解答より優れたものをつくっているつもりですが。でもたいていは泥臭い。でも生徒よりは解けます。経験もある。その私が、上記のようなことを泥臭くやっているのです。君たちがスマートに解くのはちょっと早いよ。解けた方が良いけど、そうはいかない。もっともっともっともっと問題そのものと格闘してください。その格闘すると言うことは、(ア)×(イ)×(ウ)を粘り強くやってみることなのです。そうやって解けたとき、はじめて数学は面白いと思えるから。

（1）              問題を解くことは、

(ア)    問題で与えられた条件をすべて踏まえ、吟味し、

(イ)    定義・定理に立脚し、また既知の解法があれば、それを媒介にし、

(ウ)    条件から結論を引き出すこと。

です。たったこれだけのことです。シンプルに言えば条件からその帰結を引き出す。これだけのことです。実はこのことしかやっていないのです。別言すれば＜すべては問題文とその条件のなかにある＞のです。

 

いわゆる「解法」というものは、このプロセスをパッケージ化＝ブラックボックス化したものです。だから知っていれば便利だけれども、中身を知らないと使い回せません。

 

　また、例えば解法が1000あるとして、数学の問題はもっとはるかに多い。つまり数十倍、数百倍ある問題を、その1000に帰着させることが最も重要な課題になるわけです。既知の解法を2000にしたところで実は事態はそう変わらない。いわば200倍が100倍になるだけのことです。たいして変わりません。知らないより知っていた方が良い。知らないこと困ることもある。けれども多くことを知っていれば解けるわけではないと言うことです。

　この＜帰着させる＞プロセスは、問題を解くという基本的なプロセスを踏まえなければ身につかない。

 

（2）              問題を解くこと　解答を書くこと

(ア)    数学的センスについて

①       数学的センスがある生徒もいます。正当な、正規のプロセスを経なくても解答の見当がついてしまう。図形的直観からほぼ値はこれ、と分かってしまう。そういう生徒は確かにいます。

②       そういう数学的センスはあった方が良いけれども、まず問題を解くときには不可欠なものになりません。その手前の作業が決定的なのです。この手前の作業については後で述べます。

(イ)    微妙な、しかし決定的な混乱ないし混同

①       問題を解く

1.         問題の条件を解きほぐし、使える定理や公式を吟味し、要求されている結論にむかっての筋道を探っていくプロセス。

2.         分析的で問題の本質を探っていく思考の働き。

②       解答を作り上げる

1.         すでに貴保的な方向が捉えられ、ゴールの姿が見えた中で、問題から帰結まで一つの論証として筋道を立ててプロセスを描き上げること。

2.         演繹的・総合的で、見えている帰結に向かって論理を構築していく思考の働き。

③       これらは全く違う。論理学的にも＜帰納法＞と＜演繹法＞はお互いに補いながら、まったく逆方向を向いているプロセスです。そして問題を解き、解答を書き上げるためには、まず分析的・帰納的にその本質を掴み、その上で演繹的に展開していくことになります。

④       これらを混同しているケースが非常に多い。問題を掴み、ゴールが見えるだけで良しとするケース（解答としてキチンと書き上げることをしない。これは採点外になってしまいます）、逆に、いわば問題を解く＝解きほぐすことをせずに解答を書き上げようとするケース。これは問題が解けません。知っている場合は解けるけれども、ちょっと見知らぬ問題になると全く解けなくなる。

(ウ)    解きつつ考える、考えつつ解答を書き、解答を書きつつ細部を詰めていく。

①       それらの総合的な働きが＜問題を解く＞　という行為です。その一つのプロセスが欠けていると結局、最終的な答案の形になって提出することができません。

②       今回は特に、問題を解きほぐすために私や講師が半ば無意識にやっていることをまとめました。

③       もう1枚にそれをまとめました。特に必要な人は自分が勉強するときの壁にでも貼っておいてください。そしてつねに、すべてやるべきことをやっているかどうか確認してください。そのうち慣れたらいちいち見なくても自分でテキパキとできるようになるから。それまではいつも指針にするようにしてください。

以下、続く　(高木）

　高校数学→受験数学が、解法の研究とそのパターンの学習に傾きがちな中、「数学」の「本質」に迫ることを全面に打ち出した本です。
私自身、いままでのチャート式のシリーズなどではお目にかかることができなかった論理の展開に触れることができ、ある意味で非常に刺激を受けました。